仕事を続けながら、しながらしたいですが、インターネットを使って資格取得は無理なでしょうか?四国出身で、関西の大学とか無理なので、できれば家で勉強したいので・・・・

状況がはっきりしないので、文部科学省の「司書について」の解説を読まれると良いと思います

よろしくお願いします
司書資格取得には、大学で夏季休暇期間に実施される司書講習を受講する必要があります

そのため非正規ならば、結構図書館で働くは簡単なでしょうか?それとも、非正規とはいえ人気があって、就職するは、とても難しいだと知っていますが、非正規のパートやアルバイトや契約の場合は、それほど倍率も高くなく、応募すれば簡単に仕事が決まったりするでしょうか?
私は都内の図書館でパートとして5年程働いています

(そんなは全くない)でもしろといってきます
司書の職種にこだわらずに県外の一般公務員になるってどうです?なかなかの自信があるならお勧め